TRIAD法は、2つの線形独立な方向ベクトルから姿勢を決定する手法である。
機体固定座標系（Body-fixed frame）において、ある方向ベクトル\(r\)が与えられたとき、慣性形への座標変換は
\begin{equation}
\left(\begin{array}{c}
R_1 \\
R_2 \\
R_3 \\
\end{array}\right) =
[\mathrm{A}]
\left(\begin{array}{c}
r_1 \\
r_2 \\
r_3 \\
\end{array}\right)
\end{equation}
と表せる。
また、別の平行でない線形独立のベクトル\(b\)が与えられたとき、同様に
\begin{equation}
\left(\begin{array}{c}
B_1 \\
B_2 \\
B_3 \\
\end{array}\right) =
[\mathrm{A}]
\left(\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
b_3 \\
\end{array}\right)
\end{equation}
と表せる。以上より、
\begin{equation}
\left(\begin{array}{c}
(R \times B)_1 \\
(R \times B)_2 \\
(R \times B)_3 \\
\end{array}\right) =
[\mathrm{A}]
\left(\begin{array}{c}
(r \times b)_1 \\
(r \times b)_2 \\
(r \times b)_3 \\
\end{array}\right)
\end{equation}
である。この3式を結合して、
\begin{equation}
\left[\begin{array}{ccc}
R_1 & B_1 & (R \times B)_1 \\
R_2 & B_2 & (R \times B)_2 \\
R_3 & B_3 & (R \times B)_3 \\
\end{array}\right] =
[\mathrm{A}]
\left[\begin{array}{ccc}
r_1 & b_1 & (r \times b)_1 \\
r_2 & b_2 & (r \times b)_2 \\
r_3 & b_1 & (r \times b)_3 \\
\end{array}\right]
\end{equation}
とかける。さらに、
\begin{equation}
\left[\begin{array}{ccc}
R_1 & \frac{(R \times B)_1}{|R \times B|} & (R \times \frac{(R \times B)}{|R \times B|})_1 \\
R_2 & \frac{(R \times B)_2}{|R \times B|} & (R \times \frac{(R \times B)}{|R \times B|})_2 \\
R_3 & \frac{(R \times B)_3}{|R \times B|} & (R \times \frac{(R \times B)}{|R \times B|})_3 \\
\end{array}\right] =
[\mathrm{A}]
\left[\begin{array}{ccc}
r_1 & \frac{(r \times b)_1}{|R \times b|} & (r \times \frac{(r \times b)}{|r \times b|})_1 \\
r_2 & \frac{(r \times b)_2}{|R \times b|} & (r \times \frac{(r \times b)}{|r \times b|})_2 \\
r_3 & \frac{(r \times b)_3}{|R \times b|} & (r \times \frac{(r \times b)}{|r \times b|})_3 \
\end{array}\right]
\end{equation}
と書けば、各行列の基底ベクトルが直交関係となり、逆行列と転置行列が一致するため、
\begin{equation}
[\mathrm{A}] =
\left[\begin{array}{ccc}
R_1 & \frac{(R \times B)_1}{|R \times B|} & (R \times \frac{(R \times B)}{|R \times B|})_1 \\
R_2 & \frac{(R \times B)_2}{|R \times B|} & (R \times \frac{(R \times B)}{|R \times B|})_2 \\
R_3 & \frac{(R \times B)_3}{|R \times B|} & (R \times \frac{(R \times B)}{|R \times B|})_3 \\
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ccc}
r_1 & \frac{(r \times b)_1}{|R \times b|} & (r \times \frac{(r \times b)}{|r \times b|})_1 \\
r_2 & \frac{(r \times b)_2}{|R \times b|} & (r \times \frac{(r \times b)}{|r \times b|})_2 \\
r_3 & \frac{(r \times b)_3}{|R \times b|} & (r \times \frac{(r \times b)}{|r \times b|})_3 \
\end{array}\right]^T
\end{equation}
として計算することができる。
この行列は機体固定座標系から慣性系への座標変換行列となる。
参考文献
Black, H. D. (1963). A Passive System for Determining the Attitude of a Satellite. AIAA Journal 2:7, 1350-1351