ルジャンドル多項式は、以下の母関数をべき級数展開したときに現れる係数として定義される。[1]
\[\frac{1}{\sqrt{1-2xz+z^2}} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}P_l[x]z^n\]
\(P_l[x]\)：\(l\) 次のルジャンドル多項式
テイラー展開によれば、
\[\frac{1}{\sqrt{1-(2xz-z^2)}} = 1 + \frac{1}{2}(2xz-z^2) + \frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}(2xz-z^2)^2 + \frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}(2xz-z^2)^3 + \cdots\]
これを整理して、
\[=1 + xz + \frac{1}{2}(3x^2-1)z^2 + \frac{1}{2}(5x^3-3x)z^3 + \cdots\]
こうしてルジャンドル多項式の具体的な形を得る。
以下にルジャンドル多項式の例を示す。
\[\begin{eqnarray}
P_0[x] & = & 1 \\
P_1[x] & = & x \\
P_2[x] & = & \frac{1}{2}(3x^2-1) \\
P_3[x] & = & \frac{1}{2}(5x^3-3x) \\
P_4[x] & = & \frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3) \\
P_5[x] & = & \frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x) \\
\end{eqnarray}\]
[1] Legendre, A. M. (1817). Exercices de calcul intégral. tome II. pp.247-248