二体問題において、以下に示すケプラーの方程式は一般的にニュートン法などの数値解法を用いて解を求める。
\[ M = E-e\sin{E} \]
ドイツの天文学者ベッセルによる論文「ケプラー方程式の解析解」の中で以下の係数を得た[1]。
\[J_n(z) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos(n\theta-z \sin\theta) \, d\theta \]
この係数をベッセル関数と呼ぶ。ベッセルはこの関数が以下の微分方程式を満たすことを導いた[2]。
\[z^2 \frac{d^2y}{dz^2} + z \frac{dy}{dz} + (z^2-n^2)y = 0 \]
この微分方程式をフロベニウス法によって解けば、第1種ベッセル関数と呼ばれる以下の解が得られる。
\[J_n(z) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k! \, \Gamma(k + n + 1)} \left( \frac{z}{2} \right)^{2k + n}\]
[1] Bessel, F. W. (1819). “Analytische Auflösung der Kepler’schen Aufgabe,” Abhandlungen der Berliner Akademie (1816–17), pp. 49–55.
[2] Bessel, F. W. (1824). “Untersuchung des Teils der planetarischen Störungen, welcher aus der Bewegung der Sonne entsteht,” Abhandlungen der Berliner Akademie. pp.22-35
Watson, G. N. (1944). A Treatise on the Theory of Bessel Functions. Cambridge University Press.