ラプラス方程式は2階の線形微分方程式である。この方程式は、地球を回転楕円体と仮定して引力を計算する過程でLaplaceによって導かれた[1][2]。
ある回転楕円体の密度を \(\rho\)、回転楕円体上の点を \(x’, y’, z’\) とすると、この点付近の微小体積の質量は
\[dM = \rho dx’dy’ dz’\]
と表される。さらに引力が働く点を \(x, y, z\) とすれば、2点の距離は
\[r = \sqrt{(x-x’)^2+(y-y’)^2+(z-z’)^2}\]
である。単位質量に対して働く微小体積の引力の大きさは、万有引力の法則より、
\[g = \frac{G \rho dx’dy’ dz’}{(x-x’)^2+(y-y’)^2+(z-z’)^2}\]
と表される。ただし、\(G\)は万有引力定数である。ここで、\(x\) 方向の引力は、
\[\begin{eqnarray}
g_x & = & \frac{G\rho dx’dy’ dz’}{(x-x’)^2+(y-y’)^2+(z-z’)^2}\cdot\frac{x-x’}{\sqrt{(x-x’)^2+(y-y’)^2+(z-z’)^2}} \\
& = & \frac{G\rho dx’dy’ dz'(x-x’)}{\{(x-x’)^2+(y-y’)^2+(z-z’)^2\}^\frac{3}{2}} \\
& = & -\frac{\partial \cdot\frac{G\rho dx’dy’ dz’}{\sqrt{(x-x’)^2+(y-y’)^2+(z-z’)^2}}}{\partial x}
\end{eqnarray}\]
と書くことができる。回転楕円体の全体で積分を行い、
\[V = \int \frac{G\rho dx’dy’ dz’}{\sqrt{(x-x’)^2+(y-y’)^2+(z-z’)^2}}\]
と定義すれば、\(x\) 方向の引力は
\[g_x = -\frac{\partial V}{\partial x}\]
と表すことができる。\(y, z\) も同様に、
\[g_y = -\frac{\partial V}{\partial y}\]
\[g_z = -\frac{\partial V}{\partial z}\]
その時、引力は関数\(V\)の偏微分として定義することができる。このような関数はポテンシャル関数と呼ばれる。
\[g = -\nabla V = \left(-\frac{\partial V}{\partial x},-\frac{\partial V}{\partial y},-\frac{\partial V}{\partial z}\right)\]
関数\(V\)の分母を
\[\beta = \{(x-x’)^2+(y-y’)^2+(z-z’)^2\}^{-\frac{1}{2}}\]
と置けば、
\[\frac{\partial \beta}{\partial x} = -(x-x’)\{(x-x’)^2+(y-y’)^2+(z-z’)^2\}^{-\frac{3}{2}} = -(x-x’)\beta^3\]
\[\frac{\partial^2\beta}{\partial x^2} = -\beta^3-3(x-x’)\beta^2\left(\frac{\partial \beta}{\partial x}\right)=\beta^5\{-\beta^{-2}+3(x-x’)^2\}\]
が導かれる。\(y, z\)も同様に、
\[\frac{\partial^2\beta}{\partial y^2} = \beta^5\{-\beta^{-2}+3(y-y’)^2\}\]
\[\frac{\partial^2\beta}{\partial z^2} = \beta^5\{-\beta^{-2}+3(z-z’)^2\}\]
したがって、
\[\frac{\partial^2 \beta}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 \beta}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 \beta}{\partial z^2} = 0\]
ここで、
\[V = \int {\beta \rho dx’dy’ dz’}\]
であるから、次の式が導かれる。
\[\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 V}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = \Delta V = 0\]
これはラプラス方程式と呼ばれる。
参考文献
[1] P.-S. Laplace, “Théorie de l’attraction des sphéroïdes et de la figure des planètes,” Mémoires de l’Académie Royale des Sciences de Paris, 1785, p. 312. (Mouvement elliptique, p. 67).
[2] P.-S. Laplace, Traité de Mécanique Céleste, Paris: Crapelet, 1799–1825, pp. 279-282.