回転座標系におけるベクトルの時間微分
慣性系\(S\)と，慣性系\(S\)に対して角速度\(\omega\)で回転する回転座標系\(S’\)を考えます．
慣性系\(S\)における位置ベクトルは
\[\begin{eqnarray}
\boldsymbol{r} & = & x\boldsymbol{e_1}+y\boldsymbol{e_2}+z\boldsymbol{e_3} \\
& = & [
\begin{array}{ccc}
x & y & z
\end{array} ]
\left\{\begin{array}{c}
\boldsymbol{e_1} \\
\boldsymbol{e_2} \\
\boldsymbol{e_3} \\
\end{array}\right\} \\
& = & \boldsymbol{r}^\mathrm{T} \{\boldsymbol{e}\}
\end{eqnarray}\]
と表されます．また，回転座標系\(S’\)における位置ベクトルは
\[\begin{eqnarray}
\boldsymbol{r’} & = & x’\boldsymbol{e’_1}+y’\boldsymbol{e’_2}+z’\boldsymbol{e’_3} \\
& = & [
\begin{array}{ccc}
x’ & y’ & z’
\end{array} ]
\left\{\begin{array}{c}
\boldsymbol{e’_1} \\
\boldsymbol{e’_2} \\
\boldsymbol{e’_3} \\
\end{array}\right\} \\
& = & \boldsymbol{r’}^\mathrm{T} \{\boldsymbol{e’}\}
\end{eqnarray}\]
と書けます．ここで，\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r’}\)なので，
\[\begin{eqnarray}
\boldsymbol{v} = \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} & = & \frac{d\boldsymbol{r}^\mathrm{T}\{\boldsymbol{e}\}}{dt} \\
& = & \frac{d\boldsymbol{r’}^\mathrm{T}}{dt}\{\boldsymbol{e’}\} + \boldsymbol{r’}^\mathrm{T}\frac{d\{\boldsymbol{e’}\}}{dt}
\end{eqnarray}\]
ここで，
\[\boldsymbol{v’} = \frac{d\boldsymbol{r’}^\mathrm{T}}{dt}\{\boldsymbol{e’}\}\]
\[\frac{d\{\boldsymbol{e’}\}}{dt} = \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{e’}\]
より，
\[\begin{eqnarray}
\boldsymbol{v} & = & \boldsymbol{v’} + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r’}^\mathrm{T}\boldsymbol{e’} \\
& = & \boldsymbol{v’} + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r’}
\end{eqnarray}\]
\[\boldsymbol{v} = \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} = \boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}\]
となります．